Теперь мы рассмотрим более глубоко законы эйнштейновской кинематики. При этом мы преимущественно будем ограничиваться плоскостью Получаемые при этом выводы совсем нетрудно обобщить на случай четырехмерного -пространства, поэтому мы будем лишь упоминать о нем по ходу дела.

Фиг. 125. Четырехмерные отрезки. а - временно-подобное расстояние пространственно-подобное расстояние

Световые линии, определяемые уравнением Делят плоскость на четыре квадранта (фиг. 116). Очевидно, сохраняет один и тот же знак в каждом квадранте, причем в двух противоположных квадрантах, содержащих ветви гиперболы в двух противоположных квадрантах, которые содержат ветви . Прямую мировую линию, проходящую через начало координат О, можно взять в качестве оси или оси соответственно тому, лежит ли она в квадранте или в квадранте Соответственно этому мы подразделяем мировые линии на «пространственно-подобные» и на «временно-подобные» (фиг. 125,а).

Во всякой инерциальной системе ось отделяет мировые точки «прошлого» от мировых точек «будущего» Но это подразделение различно в каждой инерциальной системе, поскольку при ином положении оси мировые точки, которые раньше лежали выше нее, т. е. в будущем, могут

оказаться ниже оси в прошлом, и наоборот. Лишь те события, которые представляются мировыми точками, лежащими в квадрантах единственным образом принадлежат либо к «прошлому», либо к «будущему» в любой инерциальной системе. Для такой мировой точки (фиг. 125, а) мы имеем в любой допустимой системе отсчета два события разделены интервалом времени, большим того времени, за которое свет покрывает путь от одной из этих точек до другой. Следовательно, мы всегда можем выбрать инерциальную систему так, что ее ось проходит через точку т. е. такую систему, в которой представляет событие, происходящее в пространственном начале отсчета. С точки зрения другой инерциальной системы наша инерциальная система будет двигаться равномерно и прямолинейно таким образом, что ее начало точно совпадает с событиями Тогда, очевидно, мы должны для события в системе положить

Во всякой инерциальной системе ось представляет геометрическое место мировых точек, соответствующих событиям, происходящим в пространственном начале координат на оси X (т. е. в точке и разделяет (на двумерной фигуре) точки, лежащие слева от начала, и точки, лежащие справа от него. Но в другой инерциальной системе с иной осью это разграничение будет иным. Оно определено единственным образом только для мировых точек, лежащих в квадрантах независимо от того, лежат ли они «до» или «после» пространственного начала координат. Для такой точки (фиг. 125,б) т. е. в любой допустимой системе отсчета временной интервал между событиями меньше того времени, которое затрачивает свет на прохождение расстояния от точки О до точки Таким образом, можно ввести подходящим образом выбранную движущуюся инерциальную систему с осью проходящей через в которой оба события, оказываются одновременными. В этой системе для события очевидно, следовательно,

Отсюда следует, что инвариант для любой мировой точки представляет собой измеримую величину, имеющую легко интерпретируемый наглядный смысл. Вводя подходящую систему отсчета мировую точку можно либо перевести «в то же самое место», в котором произошло событие О, и тогда разность времен между событиями происходящими в одной и той же пространственной точке в системе либо можно перевести «в тот же момент времени», в который произошло событие О, и тогда пространственное расстояние между двумя событиями в системе

Во всякой системе координат световые линии представляют движения, происходящие со скоростью света. В соответствии с этим каждая временно-подобная мировая линия представляет движение со скоростью, меньшей скорости света с. Или, подходя к вопросу с другой стороны, всякое движение, происходящее со скоростью, меньшей скорости света, можно «перевести в состояние покоя», поскольку существует временно-подобная мировая линия, соответствующая этому движению.

А как насчет движений, происходящих со скоростью, большей скорости света? В свете высказанных выше суждений казалось бы очевидным, что теория относительности Эйнштейна должна объявить такие движения невозможными. В самом деле, новая кинематика потеряла бы весь свой смысл, если бы существовали сигналы, позволяющие нам контролировать одновременность хода часов с помощью средств, включающих скорости, превышающие скорость света. По-видимому, здесь какая-то трудность.

Пусть система движется со скоростью относительно другой системы и пусть тело К движется относительно системы со скоростью и. Согласно обычной кинематике, относительная скорость тела К в системе равна

Теперь, если каждая превышает половину скорости Света, то и больше скорости света с, а это должно быть невозможным, согласно теории относительности.

Этот софизм, конечно, связан с тем обстоятельством, что скорости в релятивистской кинематике невозможно просто суммировать, ибо каждая система отсчета имеет собственные единицы длины и времени.

Необходимость учета этого обстоятельства с очевидностью Вытекает из того факта, что в любых двух системах, движущихся одна относительно другой, скорость света предполагается всегда одинаковой, - факта, уже использованного ранее при выводе преобразования Лоренца (гл. VI, § 2, стр. 230). Истинный закон сложения скоростей можно вывести из этого преобразования [формулы (70)]. Рассмотрим движущееся тело в системе Его движение может происходить в плоскости х, у, и, таким образом, его скорость будет иметь две компоненты их, и и движение может начаться в момент времени из начала координат. Мировая линия тела задается тогда уравнениями

Можно предвидеть, что движение окажется прямолинейным и в системе причем скорость будет иметь две постоянные компоненты Мировая линия движущегося тела в системе будет задаваться уравнениями

Для того чтобы получить соотношение между скоростями тела в системах введем выражения для в уравнения и с помощью формул преобразования Лоренца (70а). Вместо первого уравнения мы получаем

Сравнивая этот результат с уравнением получаем

который и выражает теорему о постоянстве скорости света. Более того, мы видим, что для любого тела, движущегося вдоль пространственной оси, до тех пор, пока . В самом деле, деля формулу (77а) на с, мы можем преобразовать результат к виду

Из этой формулы прямо следует наше утверждение, так как при указанных выше условиях второй член справа всегда меньше 1 (знаменатель больше 1, а каждый множитель в числителе меньше 1). Аналогичный вывод справедлив, конечно, и для движений, происходящих поперек пространственной оси, и для движений в любом направлении.

Итак, скорость света кинематически есть предельная скорость, которую невозможно превысить. Этот постулат теории Эйнштейна встретил упорную оппозицию. Он казался неоправданным ограничением планов исследователей, которые ждали в будущем открытий скоростей, превышающих скорость света.

Мы знаем, что -лучи радиоактивных веществ представляют собой электроны, движущиеся со скоростями, близкими к скорости света. Почему же невозможно ускорить их так, чтобы они двигались со скоростями больше скорости света?

Теория Эйнштейна, однако, утверждает, что это невозможно в принципе, поскольку лнерциальное сопротивление, или масса тела, возрастает по мере того, как его скорость приближается к скорости света. Таким образом, мы приходим к новой динамике, базирующейся на кинематике Эйнштейна.

Релятивистский закон сложения скоростей.

Рассмотрим движение материальной точки в системе К’ со скоростью u. Определим скорость этой точки в системе К если система К’ движется со скоростью v. Запишем проекции вектора скорости точки относительно систем К и К’:

K: u x =dx/dt, u y =dy/dt, u z =dz/dt; K’: u x ’=dx’/dt’, u y ’ =dy’/dt’, u’ z =dz’/dt’.

Теперь нам нужно найти значения дифференциалов dx, dy, dz и dt. Продифференцировав преобразования Лоренца, получим:

, , , .

Теперь мы сможем найти проекции скорости:

, ,
.

Из этих уравнений видно, что формулы, связывающие скорости тела в разных системах отсчета (эаконы сложения скоростей) существенно отличаются от законов классической механики. При скоростях малых по сравнению со скоростью света, эти уравнения переходят в классические уравнения сложения скоростей.

6. 5. Основной закон динамики релятивистской частицы. @

Масса релятивистских частиц, т.е. частиц, движущихся со скоростями v ~ с не постоянна, а зависит от их скорости: . Здесь m 0 – это масса покоя частицы, т.е. масса, измеренная в той системе отсчета, относительно которой частица покоится. Эта зависимость подтверждена экспери­ментально. На основании ее рассчитывают все современные ускорители заряженных частиц (циклотрон, синхрофазотрон, бетатрон и т.д.).

Из принципа относительности Эйнштейна, утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к дру­гой, следует условие инвариантности физических законов относительно преобразо­ваний Лоренца. Основной закон динамики Ньютона F=dP/dt=d(mv)/dt оказывается также инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем справа стоит производная по времени от релятивистского импульса .

Основной закон релятивистской динамики имеет вид: ,

и формулируется следующим образом: скорость изменения релятивистского импульса частицы, движущейся со скоростью близкой к скорости света, равна дей­ствующей на нее силе. При скоростях, намного меньших скорости света, полученное нами уравнение переходит в основной закон динамики классической механики. Основной закон релятивистской динамики инвариантен по отношению к преобразованиям Лоренца, но можно показать, что ни ускорение, ни сила, ни импульс сами по себе ин­вариантными величинами не являются. В силу однородности пространства в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы не изменяется с течением времени.

Кроме всех перечисленных особенностей, основной и важнейший вывод специальной теории относительности сводится к тому, что пространство и время органически взаимосвязаны и образуют единую форму суще­ствования материи.

6. 6. Взаимосвязь массы и энергии. Закон сохранения энергии в релятивистской механике. @

Исследуя следствия основного закона релятивистской динамики, Эйнштейн пришел к выводу о том, что полная энергия двигающейся частицы равна . Из этого уравнения следует, что даже неподвижная частица (когда b=0) обладает энергией Е 0 = m 0 с 2 , эту энергию называют энергией покоя (или собственной энер­гией).

Итак, универсальная зависимость полной энергии частицы от ее массы: Е = mс 2 . Это фундаментальный закон природы – закон взаимосвязи массы и энергии. Со­гласно этому закону масса, находящаяся в покое, обладает огромным запасом энер­гии и любое изменение массы Δm сопровождается изменением полной энергии час­тицы ΔE=c 2 Δm.

Например, 1кг речного песка должен содержать 1×(3,0∙10 8 м/c) 2 =9∙10 16 Дж энергии. Это вдвое больше еженедельного потребления энергии в США. Однако большая часть этой
энергии недоступна, так как закон сохранения материи требует, чтобы общее число барионов (так называются элементарные частицы – нейтроны и протоны) в любой замкнутой системе оставалось постоянным. Отсюда следует, что суммарная масса барионов не меняется и, соответственно, она не может быть преобразована в энергию.

Но внутри атомных ядер нейтроны и протоны кроме энергии покоя обладают большой энергией взаи­модействия друг с другом. В ряде та­ких процессов как синтез и деление ядер, часть этой потенциальной энергии взаимодействия может превращаться в добавочную кинетическую энергию, получаемых в реакциях, частиц. Это превращение и служит источником энергии ядерных реакторов и атомных бомб.

Правильность соотношения Эйнштейна можно доказать на примере распада свободного нейтрона на протон, электрон и нейтрино (с нулевой массой покоя): n → p + e - + ν. При этом суммарная кинетическая энергия конечных продуктов равна 1,25∙10 -13 Дж. Масса покоя нейтрона превышает суммарную массу протона и электрона на 13,9∙10 -31 кг. Этому уменьшению массы должна соответствовать энергия ΔE=c 2 Δm=(13,9∙10 -31)(3,0∙10 8) 2 =1,25∙10 -15 Дж. Она совпадает с наблюдаемой кинетической энергией продуктов распада.

В релятивистской механике не соблюдается закон сохранения массы покоя, но выполняется закон сохранения энергии: полная энергия замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени .

6.7. Общая теория относительности. @

Спустя несколько лет после опубликования специальной теории относитель­ности, Эйнштейном была разработана и окончательно сформулирована в 1915 г. общая теория относительности, которая представляет собой современную физиче­скую теорию пространства, времени и тяготения.

Главным предметом общей теории относительности является гравитационное взаимодействие, или тяготение. В законе всемирного тяготения Ньютона подразу­мевается, что сила тяготения действует мгновенно. Такое утверждение противоре­чит одному из основных принципов теории относительности, а именно: ни энергия, ни сигнал не могут распространяться быстрее скорости света. Таким образом, Эйн­штейн столкнулся с проблемой релятивистской теории тяготения. Для решения этой проблемы необходимо было также ответить на вопрос: различаются ли гравитаци­онная масса (входящая в закон Всемирного тяготения) и инертная масса (входящая во второй закон Ньютона)? Ответ на этот вопрос может дать только опыт. Вся сово­купность опытных фактов указывает на то, что инертная и гравитационная массы тождественны. Известно, что силы инерции аналогичны силам тяготения: находясь внутри закрытой кабины, никакими опытами нельзя ус­тановить, чем вызвано действие на тело силы mg – тем ли, что кабина движется с ускорением g, либо тем, что неподвижная кабина находится вблизи поверхности Земли. Вышесказанное представляет собой так называемый принцип эквивалент­ности : поле тяготения по своему проявлению тождественно ускоряющейся системе отсчета. Это утверждение и было положено Эйнштейном в основу общей теории относительности.

В своей теории Эйнштейн получил, что свойства пространства и времени связаны более сложными соотношениями, чем соотношения Лоренца. Вид этих связей зависит от распределения материи в пространстве, часто образно говорят, что материя искривляет пространство и время. Если материи нет на больших расстояниях от точки наблюдения или искривление пространства‑времени мало, то можно с удовлетворительной точностью использовать соотношения Лоренца.

Явление гравитации (притяжение тел имеющих массу) Эйнштейн объяснил тем, что массивные тела так искривляют пространство, что естественное движение других тел по инерции происходит по тем же траекториям, как если бы существовали силы притяжения. Таким образом, Эйнштейн решил проблему совпадения гравитаци­онной и инертной массы путем отказа от использования понятия сил гравитации.

Следствия, полученные из общей теории относительности (теории гравитации), предсказали наличие новых физических явлений вблизи массивных тел: изменение хода времени; изменение траекторий других тел, не объясняемое в классической механике; отклонение лучей света; изменение частоты света; необратимое притяжение всех форм материи к достаточно массивным звездам и др. Все эти явления были обнаружены: изменение хода часов наблюдали при полете самолета вокруг Земли; траектория движения самой близкой к Солнцу планеты – Меркурия объясняется только этой теорией, отклонение лучей света наблюдается для лучей, идущих от звезд к нам вблизи Солнца; изменение частоты или длины волны света также обнаружено, этот эффект называется гравитационным красным смещением, он на­блюдается в спектральных линиях Солнца и тяжелых звезд; необратимым притяжением материи к звездам объясняют наличие «черных дыр» ‑ космических звездных объектов, поглощающих даже свет. Кроме этого, множество космологических вопросов находит объяснение в общей теории относительности.

Пусть два фотона 1 и 2 движутся навстречу друг другу со скоростями, равными v 1 = с и v 2 = с (с - скорость света) относительно условно «неподвижной» системы отсчета Земля К (см. рис.). Найдем скорость 1-го фотона в системе отсчета К, связанной со 2-ым фотоном, используя классическую формулу для сложения скоростей:

Таблица 3

Таким образом, скорость одного фотона в системе отсчета, связанной со 2-ым, оказалась равной 2с, но согласно СТО ни одна частица не может двигаться со скоростью, большей скорости света.

При движении тел со скоростями, сопоставимыми со скоростью света в СТО был получена другая формула, которую называют релятивистской формулой сложения скоростей. Запишем формулы для простейшего случая движения систем в одном направлении.

u - скорость тела в неподвижной системе отсчета К

u - скорость тела в движущейся системе отсчета К

v - скорость системы К относительно системы К

(мы заменили буквы по сравнению с предыдущими формулами, чтобы не использовать индексы и еще больше не загромождать формулы)

Получим эти формулы.

Введем промежуточную переменную t

Найдем производную, используя преобразования Лоренца

Перемножим производные, учитывая, что

произведя алгебраические действия, найдем из этого уравнения u или u

Вычислим теперь скорость фотона из предыдущего примера по релятивистской формуле.

v 1 = u 1 = c-скорость 1-го фотона в К, v 1 = u 1 = c- скорость 1-го в К, v 2 = v - скорость 2-го фотона, т.е. скорость К в К. Таким образом по релятивистской формуле скорость фотона не превышает скорость света c.

Понятие о релятивистской динамике

При использовании преобразований Лоренца основной закон динамики m(dp/dt) = F оказывается инвариантным при условии, что импульс частицы записывается в виде:

Релятивистский импульс частицы

Основной закон релятивистской динамики

Тогда основной закон релятивистской динамики формально сохраняет такой же вид, как II закон Ньютона, но между ними имеется принципиальное различие. (см. ниже)

Величина m называется релятивистской массой, она зависит от скорости тела и не является инвариантом, т.е. имеет различное значение в разных ИСО.

m 0 - масса тела, называемая также массой покоя, является инвариантом и имеет одно и то же значение в любых ИСО.

В классической механике ускорение частицы и сила, вызвавшая это ускорение, всегда направлены одинаково. При скорости движения частицы сопоставимой со скоростью света, т.е. в релятивистском случае, направление ускорения и силы совпадают только в двух случаях: 1) когда сила параллельна скорости в каждый момент времени и 2) когда сила перпендикулярна скорости. В общем случае направления ускорения и силы не совпадают (см. рис)

Взаимосвязь массы и энергии в теории относительности.

Введем новые обозначения для энергии, которые чаще всего используются в СТО.

полная энергия

кинетическая энергия (будем использовать обозначение Т)

Найдем выражение для кинетической энергии в СТО, считая, что приращение кинетической энергии происходит за счет работы некоторой силы. Тело в начальный момент неподвижно и является свободным, т.е. не взаимодействует с другими телами и не обладает, таким образом, потенциальной энергией.

чтобы проинтегрировать и получить, нужно свести к одной переменной m, пока их две, и все равенства - скалярные произведения векторов,

вместо переменной р появились переменные

здесь уже нет векторных произведений т.к. , но остались две переменные

возведем в квадрат, выразим, подставим в и получим

теперь можно проинтегрировать, т.к. осталась одна переменная m

интегрируя, получим выражение для кинетической энергии в СТО

Релятивистская кинетическая энергия

Энергия покоя

Полная релятивистская энергия, т.е. энергия движущегося тела

Таким образом, из СТО следует, что любое неподвижное тело обладает запасом энергии, равной. Например, в теле массой 1 кг содержится энергия Е 0 = 1910 16 Дж. Этой энергией можно нагреть на 100 о С водоем с размерами 1 км 20 км 20 м. Проблема состоит в том, как выделить эту энергию. Даже при термоядерной реакции освобождается меньше 1% от полной энергии, соответствующей всей массе покоя. В классической механике понятие «энергия покоя» отсутствовало.

Выражение называется закон Эйнштейна взаимосвязи массы и энергии

Согласно этому закону, общий запас энергии тела (или системы тел), из каких бы видов энергии он ни состоял (кинетическая, потенциальная, тепловая, электрическая и пр.) связан с массой тела (системы тел) этим соотношением. Иначе говоря, если изменится масса тела, изменится и его энергия, и наоборот.

Пусть кусок железа массой 1 кг нагрели на 1000 о С. Вычислим, насколько должна при этом измениться масса куска.

изменение энергии тела на должно изменить его массу на

Q - теплота при нагревании, С - удельная теплоемкость нагреваемого вещества

не существует таких приборов, чтобы при массе 1 кг обнаружить такое маленькое ее изменение

Все формулы СТО переходят в классические при v<< c.Например, найдем кинетическую энергию тела при малых скоростях. Приближенное выражение, известное из математики

релятивистское выражение переходит в классическое

Из СТО следует возможность существования частиц с нулевой массой, но они не могут быть неподвижными, а должны непрерывно двигаться, причем только со скоростью света с - это фотоны и, возможно, нейтрино.

связь энергии и импульса для частиц с нулевой массой (фотонов) m 0 =0

Некоторые формулы из СТО, которые можно вывести из приведенных выше выражений

Связь кинетической энергии частицы с ее импульсом

Связь полной энергии частицы с ее импульсом

Связь полной энергии и энергии покоя с импульсом

Пример. Вернёмся к примеру (1.13 ):

x = 1 + 12t 3t2

(координата измеряется в метрах, время в секундах). Последовательно дифференцируя два раза, получаем:

vx = x = 12 6t;

ax = vx = 6:

Как видим, ускорение постоянно по модулю и равно 6 м/с2 . Направлено ускорение в сторону, противоположную оси X.

Приведённый пример есть случай равноускоренного движения, при котором модуль и направление ускорения неизменны. Равноускоренное движение один из важнейших и часто встречающихся видов движения в механике.

Из данного примера нетрудно понять, что при равноускоренном движении проекция скорости является линейной функцией времени, а координата квадратичной функцией. Мы поговорим об этом более подробно в соответствующем разделе, посвящённом равноускоренному движению.

Пример. Рассмотрим более экзотический случай:

x = 2 + 3t 4t2 + 5t3 :

Дифференцируем:

vx = x = 3 8t + 15t2 ;

ax = vx = 8 + 30t:

Данное движение не является равноускоренным: ускорение зависит от времени.

Пример. Пусть тело движется вдоль оси X по следующему закону:

Мы видим, что координата тела периодически изменяется, находясь в пределах от 5 до 5. Данное движение является примером гармонических колебаний, когда координата меняется со временем по закону синуса.

Дифференцируем дважды:

vx = x = 5 cos 2t 2 = 10 cos 2t;

ax = vx = 20 sin 2t:

Проекция скорости меняется по закону косинуса, а проекция ускорения снова по закону синуса. Величина ax пропорциональна координате x и противоположна ей по знаку (а именно, ax = 4x); вообще, соотношение вида ax = !2 x характерно для гармонических колебаний.

1.2.8 Закон сложения скоростей

Пусть имеются две системы отсчёта. Одна из них связана с неподвижным телом отсчёта O. Эту систему отсчёта обозначим K и будем называть неподвижной.

Вторая система отсчёта, обозначаемая K0 , связана с телом отсчёта O0 , которое движется относительно тела O со скоростью ~u. Эту систему отсчёта называем движущейся. Дополнительно

предполагаем, что координатные оси системы K0 перемещаются параллельно самим себе (нет вращения системы координат), так что вектор ~u можно считать скоростью движущейся системы относительно неподвижной.

Неподвижная система отсчёта K обычно связана с землёй. Если поезд плавно едет по рельсам со скоростью ~u, то система отсчёта, связанная с вагоном поезда, будет движущейся системой отсчёта K0 .

Заметим, что скорость любой точки вагона3 равна ~u. Если муха неподвижно сидит в некоторой точке вагона, то относительно земли муха движется со скоростью ~u. Муха переносится вагоном, и потому скорость ~u движущейся системы относительно неподвижной называется переносной скоростью.

Предположим теперь, что муха поползла по вагону. Тогда появляются ещё две скорости, которые нужно рассмотреть.

Скорость мухи относительно вагона (то есть в движущейся системе K0 ) обозначается ~v0 и

называется относительной скоростью.

Скорость мухи относительно земли (то есть в неподвижной системе K) обозначается ~v и

называется абсолютной скоростью.

Выясним, как связаны друг с другом эти три скорости абсолютная, относительная и переносная.

На рис. 1.11 муха обозначена точкой M. Далее:

~r радиус-вектор точки M в неподвижной системе K; ~r0 радиус-вектор точки M в движущейся системе K0 ;

~ радиус-вектор тела отсчёта0 в неподвижной системе.

Рис. 1.11. К выводу закона сложения скоростей

Как видно из рисунка,

~ 0 ~r = R + ~r:

Дифференцируя это равенство, получим:

Производная d~r=dt есть скорость точки M в системе K, то есть абсолютная скорость:

d~r dt = ~v:

Аналогично, производная d~r 0 =dt есть скорость точки M в системе K0 , то есть относительная

скорость:

d~r dt 0 = ~v0 :

3 Кроме вращающихся колёс, но их мы не берём во внимание.

А что такое ~ ? Это скорость точки0 в неподвижной системе, то есть переносная dR=dt O

скорость ~u движущейся системы относительно неподвижной:

dR dt = ~u:

В результате из (1.28 ) получаем:

~v = ~u + ~v 0 :

Закон сложения скоростей. Скорость точки относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости движущейся системы и скорости точки относительно движущейся системы. Иными словами, абсолютная скорость есть сумма переносной и относительной скоростей.

Таким образом, если муха ползёт по движущемуся вагону, то скорость мухи относительно земли равна векторной сумме скорости вагона и скорости мухи относительно вагона. Интуитивно очевидный результат!

1.2.9 Виды механического движения

Простейшими видами механического движения материальной точки являются равномерное и прямолинейное движения.

Движение называется равномерным, если модуль вектора скорости остаётся постоянным (направление скорости при этом может меняться).

Движение называется прямолинейным, если оно происходит вдоль некоторой прямой (величина скорости при этом может меняться). Иными словами, траекторией прямолинейного движения служит прямая линия.

Например, автомобиль, который едет с постоянной скоростью по извилистой дороге, совершает равномерное (но не прямолинейное) движение. Автомобиль, разгоняющийся на прямом участке шоссе, совершает прямолинейное (но не равномерное) движение.

А вот если при движении тела остаются постоянными как модуль скорости, так и её направление, то движение называется равномерным прямолинейным. Итак:

равномерное движение, j~vj = const;

равномерное прямолинейное движение, ~v = const.

Важнейшим частным случаем неравномерного движения является равноускоренное движение, при котором остаются постоянными модуль и направление вектора ускорения:

равноускоренное движение, ~a = const.

Наряду с материальной точкой в механике рассматривается ещё одна идеализация твёрдое тело.

Твёрдое тело это система материальных точек, расстояния между которыми не меняются со временем. Модель твёрдого тела применяется в тех случаях, когда мы не можем пренебречь размерами тела, но можем не принимать во внимание изменение размеров и формы тела в процессе движения.

Простейшими видами механического движения твёрдого тела являются поступательное и вращательное движения.

Движение тела называется поступательным, если всякая прямая, соединяющая две какиелибо точки тела, перемещается параллельно своему первоначальному направлению. При поступательном движении траектории всех точек тела идентичны: они получаются друг из друга параллельным сдвигом.

Так, на рис. 1.12 показано поступательное движение серого квадрата. Произвольно взятый зелёный отрезок этого квадрата перемещается параллельно самому себе. Траектории концов отрезка изображены синими пунктирными линиями.

Рис. 1.12. Поступательное движение

Движение тела называется вращательным, если все его точки описывают окружности, лежащие в параллельных плоскостях. При этом центры данных окружностей лежат на одной прямой, которая перпендикулярна всем этим плоскостям и называется осью вращения.

На рис. 1.13 изображён шар, вращающийся вокруг вертикальной оси. Так обычно рисуют земной шар в соответствующих задачах динамики.

Рис. 1.13. Вращательное движение

Мы говорили, что скорость света - максимально возможная скорость распространения сигнала. Но что будет, если свет испускается движущимся источником в направлении его скорости V ? Согласно закону сложения скоростей, следующему из преобразований Галилея, скорость света должна быть равна c + V . Но в теории относительности это невозможно. Посмотрим, какой закон сложения скоростей следует из преобразований Лоренца. Для этого запишем их для бесконечно малых величин:

По определению скорости ее компоненты в системе отсчета K находятся как отношения соответствующих перемещений к временным интервалам:

Аналогично определяется скорость объекта в движущейся системе отсчета K" , только пространственные расстояния и временные интервалы надо взять относительно этой системы:

Следовательно, разделив выражение dx на выражение dt , получим:

Разделив числитель и знаменатель на dt" , находим связь x -компонент скоростей в разных системах отсчета, которая отличается от галилеевского правила сложения скоростей:

Кроме того, в отличие от классической физики, меняются и компоненты скоростей, ортогональные направлению движения. Аналогичные вычисления для других компонент скоростей дают:

Таким образом, получены формулы для преобразования скоростей в релятивистской механике. Формулы обратного преобразования получаются при замене штрихованных величин на нештрихованные и обратно и заменой V на –V .

Теперь мы можем ответить на вопрос, поставленный в начале данного раздела. Пусть в точке 0" движущейся системы отсчета K" установлен лазер, посылающий импульс света в положительном направлении оси 0"х" . Какой будет скорость импульса для неподвижного наблюдателя в системе отсчета К ? В этом случае скорость светового импульса в системе отсчета К" имеет компоненты

Применяя закон релятивистского сложения скоростей, находим для компонент скорости импульса относительно неподвижной системы К :

Мы получаем, что скорость светового импульса и в неподвижной системе отсчета, относительно которой источник света движется, равна

Тот же результат получится при любом направлении распространения импульса. Это естественно, так как независимость скорости света от движения источника и наблюдателя заложена в одном из постулатов теории относительности. Релятивистский закон сложения скоростей - следствие этого постулата.

Действительно, когда скорость движения подвижной системы отсчета V << c , преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея, мы получаем обычный закон сложения скоростей

При этом ход течения времени и длина линейки будут одинаковы в обеих системах отсчета. Таким образом, законы классической механики применимы, если скорости объектов много меньше скорости света. Теория относительности не зачеркнула достижения классической физики, она установила рамки их справедливости.

Пример. Тело со скоростью v 0 налетает перпендикулярно на стенку, двигающуюся ему навстречу со скоростью v . Пользуясь формулами для релятивистского сложения скоростей, найдем скорость v 1 тела после отскока. Удар абсолютно упругий, масса стенки намного больше массы тела.

Воспользуемся формулами, выражающими релятивистский закон сложения скоростей.

Направим ось х вдоль начальной скорости тела v 0 и свяжем систему отсчета K" со стенкой. Тогда v x = v 0 и V = –v . В системе отсчета, связанной со стенкой, начальная скорость v" 0 тела равна

Вернемся теперь назад в лабораторную систему отсчета К . Подставляя в релятивистский закон сложения скоростей v" 1 вместо v" x и учитывая опять же V = –v , находим после преобразований: