Точка, линия, прямая, луч, отрезок, ломанная. Луч и угол, измерение и сравнение углов

Штукатурка
20.09.2019

Определение понятия луча базируется на двух основных понятиях геометрии: точке и прямой. Возьмем произвольную прямую и выберем на ней произвольную точку. Такая точка будет разделять эту прямую две части (рис. 1).

Определение 1

Лучем будет называться часть прямой, которая ограничена какой-либо точкой на этой прямой, но только с одной стороны.

Определение 2

Точка, которой ограничен луч в рамках определения 1 называется началом этого луча.

Замечание 1

отметим, что угол, который получался на рисунке 1 называется развернутым.

Луч будем обозначать двумя точками: началом его и другой любой произвольной точки на нем. Отметим, что здесь, в обозначении, важен порядок обозначения этих точек. На первом месте всегда ставим именно начало луча (рис. 2)

Понятие луча связано со следующей аксиомой геометрии:

Аксиома 1: Любая произвольная точка на прямой будет делить ее на два луча, причем любые произвольные точки одно и того же из них будут лежать с одной стороны от этой точки, а две точки из разных лучей – по разные стороны от этой точки.

С понятием луча и отрезка также связана следующая аксиома.

Аксиома 2: От начала любого луча может быть отложен отрезок , который равен заведомо данному отрезку, причем такой отрезок будет единственен.

Угол

Пусть нам даны два произвольных луча. Наложим их начала друг на друга. Тогда

Определение 3

Углом будем называть два луча, которые имеют одно и тоже начало.

Определение 4

Точка, которая является началом лучей в рамках определения 3, называется вершиной этого угла.

Угол будем обозначать следующими тремя её точками: вершиной, точкой на одном из лучей и точкой на другом луче, причем вершина угла записывается в середине его обозначения (рис. 3).

С понятием луча и угла также связана следующая аксиома.

Аксиома 3: От любого произвольного луча может быть отложен угол в определенную полуплоскость, который равен заведомо данному углу, причем такой угол будет единственен.

Сравнение углов

Рассмотрим два произвольных угла. Очевидно, что они могут быть либо равными, либо неравными.

Итак, для сравнения выбранных нами углов (обозначим их угол 1 и угол 2) наложим вершину угла 1 на вершину угла 2, так, чтобы, по одному из лучей этих углов наложились друг на друга, а другие два были по одну сторону от этих лучей. После такого наложения возможны два следующих случая:

Величина угла

Помимо сравнения одних углов с другими также часто необходимо измерение углов. Измерить угол означает найти его величину. Для этого необходимо выбрать какой-то «эталонный» угол, который мы будем принимать за единицу. Чаще всего таким углом является угол, который равен $\frac{1}{180}$ части развернутого угла. Такую величину называют градусом. После выбора такого угла мы проводим с ним сравнение углов, величину которого нужно найти.

Самым простым способом измерения величины углов является измерение с помощью транспортира.

Пример 1

Найти величину следующего угла:

Используем транспортир:

Ответ: $30^0$.

После определения величины углов у нас появляется второй способ для сравнения углов. Если при одном и том же выборе единицы измерения угол 1 и угол 2 будут иметь одинаковую величину, то такие углы будут называться равными. Если же, без ограничения общности, угол 1 будет иметь величину по числовому значению меньше величины угла 2, то угол 1 будет меньше угла 2.

Приветствую вас, на этой страничке! Думаю, что раз вы здесь, значит тему “Точки, прямые и отрезки” вы уже изучили.

Сегодня мы введем два новых понятия, рассмотрим тему

Давайте проведем прямую и отметим на ней три точки A, O и B. Точка O разбивает прямую на два луча: OA и OB. Т.е. луч – это часть прямой, ограниченная с одной стороны и неограниченная с другой.

При этом точка O называется началом лучей OA и OB, а луч OA является продолжением (дополнением) луча OB и наоборот.

Обозначается луч либо одной маленькой латинской буквой, либо двумя заглавными латинскими буквами, при этом первой называется та буква, которая обозначает начало луча.

Теперь давайте рассмотрим следующее понятие: угол. Угол – это фигура, которая состоит из двух лучей, исходящих из одной точки. Эти лучи называются сторонами углами, а общая точка называется вершиной угла.

Угол обозначается либо двумя малыми латинскими буквами, либо одной заглавной буквой, либо тремя заглавными буквами.

Если обе стороны угла лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым. По другому еще говорят, что одна сторона развернутого угла является продолжением (дополнением) другой стороны этого угла.

Любой неразвернутый угол разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю.

У развернутого угла можно любую область можно принять за внутреннюю часть, тогда другая область будет являться внешней.

За угол принимают внутреннюю часть угла.

Ну и последнее по этой теме) Если провести внутри угла лучи (лучи), то в результате образуются два (несколько) угла.

И тогда можно сказать, что угол AEM состоит из двух углов AEN и NEM:

Или,

Ниже вы можете еще раз повторить все основные понятия с помощью презентации.

Только не стоит зазубривать определения, свойства и теоремы!!! Это не принесет результатов.

При решении задач, держите под рукой учебник, чтобы в любой момент уточнить правильно ли вы определяете то или иное понятие.

А для того, чтобы вам было легче находить нужные понятия, вы можете воспользоваться (в поисковой строке вводите название понятия и с правой стороны вы сможете найти соответствующее определение, теорему и т.п.)

Ниже представлены задачи предложенные по этой теме (в учебнике по геометрии Л.С. Атанасян) . Перед тем как посмотреть решение той или иной задачи, попробуйте решить ее самостоятельно))

Условие:

Проведите прямую, отметьте на ней точки A и B и на отрезке AB отметьте точку C. a) Среди лучей AB, BC, CA, AC и BA назовите совпадающие лучи; б) назовите луч, который является продолжением луча СА.

Текстовое решение:

1. Проводим прямую

2. Отмечаем на проведенной прямой точки A и B.

3. Между точками A и B отмечаем точку С.

4. Лучи называются совпадающими, если они имеют общее начало, расположенные на одной и той же прямой и направленные в одну и ту же сторону: луч AC совпадает с лучом AB, луч BC совпадает с лучом BA.


5. Пункт (б) не очень корректен (мое личное мнение). Многие учащиеся называют продолжение луча CA, луч CB. Луч CB – это луч, который имеет общее начало с лучом CA, лежит на одной прямой, но направлен в противоположную сторону. Такие лучи называют дополнительными. Продолжение – это часть чего-то незавершенного, но луч СА и так бесконечен и мы можем свободно продолжить его для каких-то конкретных целей (до пересечения с чем-либо, на какое-то количество клеток и т.д.)

Условие:

Начертите три неразвернутых угла и обозначьте их так:

Текстовое решение:

Развернутый угол – это угол, градусная мера которого равна 180 градусов. Следовательно, чертим три угла, градусная мера которых меньше 180 градусов.


Условие:

Начертите два развернутых угла и обозначьте их буквами.

Текстовое решение:

Развернутый угол – это угол, градусная мера которого равна 180 градусов. Следовательно, чертим два угла, градусная мера которых равна 180 градусов.


Условие:

Начертите три луча h, k и l с общим началом. Назовите все углы, образованные данными лучами.

Текстовое решение:

Чертим лучи h, k и l с общим началом.

В результате получили три угла:


Условие:

Начертите неразвернутый угол hk. Отметьте две точки внутри этого угла, две точки вне этого угла и две точки на сторонах угла.

Текстовое решение:

Чертим угол

Отмечаем внутри угла точки A и B.

Отмечаем вне этого угла точки С и D.

Отмечаем на сторонах этого угла точки P и N.


Условие:

Начертите неразвернутый угол. Отметьте точки А, B, M и N так, чтобы все точки отрезка AB лежали внутри угла, а все точки отрезка MN лежали вне угла.

Текстовое решение:

Чертим неразвернутый угол (угол, градусная мера которого меньше 180 градусов) , например

Отмечаем точки A и B так, чтобы все точки отрезка AB лежали внутри угла

Отмечаем точки M и N так, чтобы все точки отрезка MN лежали вне угла

Примечание: А вот точки K и L отмечены так, чтобы часть точек отрезка KL лежало внутри угла


Условие:

Начертите неразвернутый угол AOB и проведите:
а) луч OC, который делит угол AOB на два угла;
б) луч OD, который не делит угол AOС на два угла.

Текстовое решение:

Чертим угол

Проводим луч OC так, чтобы он делил угол

Проводим луч OD так, чтобы он не делил угол

Примечание: луч OD можно провести и таким образом, чтобы это удовлетворяло условию.


Условие:

Сколько неразвернутых углов образуется при пересечении двух прямых?

Текстовое решение:

Начертим две пересекающиеся прямые AF и BL и отметим точку пересечения буквой O.

Образовавшиеся углы, градусная мера которых меньше 180 градусов:


Условие:

Какие из точек, изображенных на рис.1, лежат внутри угла hk, а какие – вне этого угла?

Текстовое решение:

Внутри угла

Вне угла

Примечание: точки D и B лежат на сторонах угла


Условие:

Какие из лучей, изображенных на рис.2, делят угол AOB на два угла?

Текстовое решение:

Угол


Цели урока:

  • расширить и углубить знания о луче и угле; показать различные обозначения этих геометрических фигур; учить распознавать их на рисунке; ввести понятие развернутого угла и понятие внутренней и внешней области;
  • развивать внимание, логическое мышление, математическую речь;
  • воспитать настойчивость и упорство.

Тип урока : изучение нового материала

Оборудование : интерактивная доска Smart Board, компьютер, малка

Ход урока

I . Оргмомент .

В геометрии нет царских путей. Евклид

А сейчас узнаем определение угла, но прежде скажите: из каких геометрических фигур состоит угол? (из точки и 2-х лучей )

Определение . Угол - это геометрическая фигура, которая состоит из точки и 2-х лучей, исходящих из этой точки.

  1. Как называется точка, из которой исходят данные лучи? (вершиной угла )
  2. Как она обозначается на рисунке? (буквой О )
  3. Как называются лучи, исходящие из одной точки? (сторонами утла )
  4. Назовите стороны угла (ОА, ОВ )
  5. Как обозначается угол изображенный на рисунке?

Запишите.

Обратите внимание, буква, обозначающая вершину угла, записывается в середине.

Появляется с углами и показывается еще два способа обозначения угла.

Вывод:

  • Какая фигура называется углом?
  • Объясните, что такое вершина и стороны угла
  • Вы знаете различные виды углов.
  • Назовите их (острые, прямые, тупые).

А сейчас выясним, какой угол называется развернутым.

(Берется малка.) Это какой угол? (острый, прямой, тупой), а вот это какой, я же развернула, как он называется? (развернутый )

Развернутый угол - это угол, стороны которого образуют прямую .

На рисунке вы видите развернутые углы.

Приложение 1 , слайд 8.

Его можно записать так ∠ pg, как показано в учебнике, а можно и так ∠ АВС

Какой из изображенных на рисунке углов является развернутым? Запишите (∠ АDE).

Приложение 1 , слайд 9.

У любого угла есть внутренние и внешние области.

Самостоятельно, работая с учебником (страница 9) ответьте на вопросы:

  1. Какая область называется внутренней, а какая внешней?
  2. Покажите, какая область является внутренней? А какая внешней?

Приложение 1 , слайд 10.

Скажите мне, как называется часть плоскости, заключенная между двумя лучами с общей вершиной. (Угол ).

Правильно, это второе определение угла.

I Х. Закрепление.

По рисунку самостоятельно у себя в тетради запишите точки принадлежащие:

  • Внутренней области
  • Внешней области
  • Сторонам угла

Приложение 1 , слайд 11.

Некоторые ученики выполнили так, но они допустили ошибку. Найдите её.

  1. E,F,C
  2. O,A,B

Правильно выполнил тот, кто выполнил работу так:

  1. E,F,C
  2. O,A,B,C

А сейчас мы выполним тест (диск Уроки геометрии Кирилла и Мефодия. 7 класс)

Точка — это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса. В рамках задачи важно только его местоположение

Точка обозначается цифрой или заглавной (большой) латинской буквой. Несколько точек — разными цифрами или разными буквами, чтобы их можно было различать

точка A, точка B, точка C

A B C

точка 1, точка 2, точка 3

1 2 3

Можно нарисовать на листке бумаги три точки "А" и предложить ребёнку провести линию через две точки "А". Но как понять через какие? A A A

Линия — это множество точек. У неё измеряют только длину. Ширины и толщины она не имеет

Обозначается строчными (маленькими) латинскими буквами

линия a, линия b, линия c

a b c

Линия может быть

  1. замкнутой, если её начало и конец находятся в одной точке,
  2. разомкнутой, если её начало и конец не соединены

замкнутые линии

разомкнутые линии

Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб и вернулся обратно в квартиру. Какая линия получилась? Правильно, замкнутая. Ты вернулся в исходную точку. Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб, зашёл в подъезд и разговорился с соседом. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку. Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку.
  1. самопересекающейся
  2. без самопересечений

самопересекающиеся линии

линии без самопересечений

  1. прямой
  2. ломанной
  3. кривой

прямые линии

ломанные линии

кривые линии

Прямая линия — это линия которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны

Даже когда виден небольшой участок прямой, предполагается, что она бесконечно продолжается в обе стороны

Обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами — точками, лежащими на прямой

прямая линия a

a

прямая линия AB

B A

Прямые могут быть

  1. пересекающимися, если имеют общую точку. Две прямые могут пересекаться только в одной точке.
    • перпендикулярными, если пересекаются под прямым углом (90°).
  2. параллельными, если не пересекаются, не имеют общей точки.

параллельные линии

пересекающиеся линии

перпендикулярные линии

Луч — это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца, её можно бесконечно продолжать только в одну сторону

У луча света на картинке начальной точкой является солнце

солнышко

Точка разделяет прямую на две части — два луча A A

Луч обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается луч, а вторая — точка, лежащая на луче

луч a

a

луч AB

B A

Лучи совпадают, если

  1. расположены на одной и той же прямой,
  2. начинаются в одной точке,
  3. направлены в одну сторону

лучи AB и AC совпадают

лучи CB и CA совпадают

C B A

Отрезок — это часть прямой, которая ограничена двумя точками, то есть она имеет и начало и конец, а значит можно измерить её длину. Длина отрезка — это расстояние между его начальной и конечной точками

Через одну точку можно провести любое число линий, в том числе прямых

Через две точки — неограниченное количество кривых, но только одну прямую

кривые линии, проходящие через две точки

B A

прямая линия AB

B A

От прямой «отрезали» кусочек и остался отрезок. Из примера выше видно, что его длина — наикратчайшее расстояние между двумя точками. ✂ B A ✂

Отрезок обозначается двумя заглавными(большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается отрезок, а вторая — точка, которой заканчивается отрезок

отрезок AB

B A

Задача: где прямая , луч , отрезок , кривая ?

Ломанная линия — это линия, состоящая из последовательно соединённых отрезков не под углом 180°

Длинный отрезок «поломали» на несколько коротких

Звенья ломаной (похожи на звенья цепи) — это отрезки, из которых состоит ломанная. Смежные звенья — это звенья, у которых конец одного звена является началом другого. Смежные звенья не должны лежать на одной прямой.

Вершины ломаной (похожи на вершины гор) — это точка, с которой начинается ломанная, точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную, точка, которой заканчивается ломанная.

Обозначается ломанная перечислением всех её вершин.

ломанная линия ABCDE

вершина ломанной A, вершина ломанной B, вершина ломанной C, вершина ломанной D, вершина ломанной E

звено ломанной AB, звено ломанной BC, звено ломанной CD, звено ломанной DE

звено AB и звено BC являются смежными

звено BC и звено CD являются смежными

звено CD и звено DE являются смежными

A B C D E 64 62 127 52

Длина ломанной — это сумма длин её звеньев: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Задача: какая ломанная длиннее , а у какой больше вершин ? У первой линии все звенья одинаковой длины, а именно по 13см. У второй линии все звенья одинаковой длины, а именно по 49см. У третьей линии все звенья одинаковой длины, а именно по 41см.

Многоугольник — это замкнутая ломанная линия

Стороны многоугольника (помогут запомнить выражения: "пойти на все четыре стороны", "бежать в сторону дома", "с какой стороны стола сядешь?") — это звенья ломанной. Смежные стороны многоугольника — это смежные звенья ломанной.

Вершины многоугольника — это вершины ломанной. Соседние вершины — это точки концов одной стороны многоугольника.

Обозначается многоугольник перечислением всех его вершин.

замкнутая ломанная линия, не имеющая самопересечения, ABCDEF

многоугольник ABCDEF

вершина многоугольника A, вершина многоугольника B, вершина многоугольника C, вершина многоугольника D, вершина многоугольника E, вершина многоугольника F

вершина A и вершина B являются соседними

вершина B и вершина C являются соседними

вершина C и вершина D являются соседними

вершина D и вершина E являются соседними

вершина E и вершина F являются соседними

вершина F и вершина A являются соседними

сторона многоугольника AB, сторона многоугольника BC, сторона многоугольника CD, сторона многоугольника DE, сторона многоугольника EF

сторона AB и сторона BC являются смежными

сторона BC и сторона CD являются смежными

сторона CD и сторона DE являются смежными

сторона DE и сторона EF являются смежными

сторона EF и сторона FA являются смежными

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Периметр многоугольника — это длина ломанной: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т.д.

Объяснение нового материала

Вот мы и добрались до страны Геометрии. А встречает нас королева этой страны Точка. Без нее нельзя построить ни одной фигуры.

Жила – была Точка. Она была очень любопытная и хотела все знать. Увидит Точка незнакомую линию и непременно спросит:

Как эта линия называется, длинная она или короткая?

Подумала однажды Точка: «Как же я буду все знать, если сижу все время на одном месте. Отправлюсь – ка я в путешествие». Сказано – сделано. Вышла Точка на прямую линию и пошла по этой линии.

Шла, шла, долго шла. Устала. И говорит Точка: «Долго я еще буду идти по этой линии?»

Ребята! Скоро ли конец у прямой линии?

Вы говорите, что у прямой нет конца? Тогда я поверну назад, наверно я пошла не в ту сторону.

Ребята! Сможет ли Точка найти конец у прямой линии?

Конечно, не сможет, у прямой линии нет конца.

Без конца и края

Линия прямая!

Хоть сто лет по ней идти

Не найти конца пути.

Но Точка об этом не знала. Шла она, устала, опечалилась. Стала Точка на прямой и решила позвать на помощь ножницы. Тут откуда ни возьмись, появились ножницы и щелкнули перед самым носом Точки. И разрезали прямую.

Ура! - закричала Точка. - Вот и конец получился! Зато теперь есть два, не знаю, как назвать…

О новой фигуре разносится весть:
Конца в ней пусть нет,
Зато начало есть.
И солнце, тихонько взойдя из-за туч,
Сказало: «Друзья, назовём его – луч!»

Они мне нравятся! – закричала Точка. Они похожи на солнечные лучики.

Геометрическая фигура – луч может иметь разное направление. Главное помнить, что начало луча – точка. Давайте назовем эту точку буквой А.

Луч ограничен с одной стороны и может быть продолжен по прямой только в одну сторону как угодно далеко.

Давайте вместе построим луч. Какие инструменты нам понадобятся?

Конечно, помогут нам построить луч линейка и карандаш.
С чего начнём построение луча?

Правильно, поставим точку.
Все построения и измерения начинаются с нуля. Совместим точку с отметкой «0» на линейке. Проведём прямую линию. Длину и направление выберите сами.
Мы тоже построили луч. Согласны ли вы со мной?(На экране – числовой луч.)
Да, это тоже луч, но называется он числовым. Почему?
Для чего нужны числа на луче? Сейчас будем учиться пользоваться числовым лучом, будем считать, вычислять.
Разделите свой числовой луч на равные отрезки, поставьте точки.
Точки обозначьте цифрами по порядку. Какой цифрой обозначим самую первую точку – начало отсчета?

Правильно, начнем отсчет с нуля. Что из школьных принадлежностей напоминает нам числовой луч?

Молодцы, ребята. Он похож на линейку.

На числовом луче можно изобразить любое число, обозначив его точкой, так как луч бесконечен.

С помощью числового луча числа легко сравнивать: чем правее точка от начала луча, тем большему числу она соответствует, чем левее тем – меньшему.

Скажите, ребята, в какую сторону по числовому лучу нужно двигаться, чтобы найти все числа, которые меньше десяти?

Правильно, влево. А чтобы найти все числа больше десяти?

Да, нужно двигаться вправо от числа десять.

А теперь поставьте точку А и проведите из этой точки два луча АВ и АС.

Мы получили новую геометрическую фигуру. Она называтся - угол. Точка А – вершина угла. Каждый угол имеет название. Оно может состоять из одной буквы – вершины угла, или из трех букв, которыми обозначены лучи, при этом в середине должна стоять буква вершины угла. Читается так: угол А или угол АВС

От вершины по лучу

Словно с горки покачу.

Только луч теперь – она.

И зовётся «сторона».

Мы видим, что лучи теперь являются сторонами угла. Это стороны АВ и АС. Помним, что луч начинается с точки.

Различают несколько видов углов: прямой, острый и тупой. Такой угол, как на угольнике, называется прямым. На рисунке это угол К. Угол, который меньше прямого угла, называют острым углом.На рисунке, это угол В.

Угол, который больше прямого угла, называют тупым углом.Это угол С.

Для того чтобы правильно определить вид угла, мы с вами будем пользоваться угольником.

Возьмите линейки и карандаши.

Начертите с помощью угольника прямой угол, назовите его М.

Теперь попробуйте начертить острый угол, который меньше прямого угла. Назовите его Т.

А теперь начертите тупой угол, который больше прямого. Назовите его N.

А что делать, если нет угольника, а надо начертить прямой угол на нелинованной бумаге? Это можно сделать с помощью линейки и циркуля. Давай попробуем сделать это вместе.

Чтобы правильно пользоваться острыми инструментами, нужно помнить

правила безопасности:

    Нельзя подносить циркуль к лицу, на конце есть игла, можно уколоться.

    Нельзя передавать циркуль иглой вперёд, можно уколоть своего товарища.

    На рабочем столе должен быть порядок.

А теперь, когда вы знаете правила безопасности, чертим прямую линию

на ней поставьте две точки А и В
проведите две окружности, чтобы точки
А и В стали центрами окружностей
точки пересечения окружностей
обозначьте буквами С и D
через полученные точки С и D
проведите прямую линию
точку пересечения двух прямых
линий обозначьте буквой О

Назовите углы, которые получились.

Давайте вместе их прочитаем угол СОВ, угол

ВОD, угол АОС и угол АОD