Метод интервалов принято считать универсальным для решения неравенств. Иногда этот метод также называют методом промежутков. Применим он как для решения рациональных неравенств с одной переменной, так и для неравенств других видов. В нашем материале мы постарались уделить внимание всем аспектам вопроса.
Что ждет вас в данном разделе? Мы разберем метод промежутков и рассмотрим алгоритмы решения неравенств с его помощью. Затронем теоретические аспекты, на которых основано применение метода.
Особое внимание мы уделяем нюансам темы, которые обычно не затрагиваются в рамках школьной программы. Например, рассмотрим правила расстановки знаков на интервалах и сам метод интервалов в общем виде без его привязки к рациональным неравенствам.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Кто помнит, как происходит знакомство с методом промежутков в школьном курсе алгебры? Обычно все начинается с решения неравенств вида f (x) < 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , > или ≥). Здесь f (x) может быть многочленом или отношением многочленов. Многочлен, в свою очередь, может быть представлен как:
Приведем несколько примеров таких неравенств:
(x + 3) · (x 2 − x + 1) · (x + 2) 3 ≥ 0 ,
(x - 2) · (x + 5) x + 3 > 0 ,
(x − 5) · (x + 5) ≤ 0 ,
(x 2 + 2 · x + 7) · (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 · (x - 1) · (x - 3) 7 ≤ 0 .
Запишем алгоритм решения неравенств такого вида, как мы привели в примерах, методом промежутков:
Четреж, с которым мы будем работать, может иметь схематический вид. Излишние подробности могут перегружать рисунок и затруднять решение. Нас будет мало интересовать маштаб. Достаточно будет придерживаться правильного расположения точек по мере роста значений их координат.
При работе со строгими неравенствами мы будем использовать обозначение точки в виде круга с незакрашенным (пустым) центром. В случае нестрогих неравенств точки, которые соответствуют нулям знаменателя, мы будем изображать пустыми, а все остальные обычными черными.
Отмеченные точки разбивают координатную прямую на несколько числовых промежутков. Это позволяет нам получить геометрическое представление числового множества, которое фактически является решением данного неравенства.
Основан подход, положенный в основу метода промежутков, основан на следующем свойстве непрерывной функции: функция сохраняет постоянный знак на интервале (a , b) , на котором эта функция непрерывна и не обращается в нуль. Это же свойство характерно для числовых лучей (− ∞ , a) и (a , + ∞) .
Приведенное свойство функции подтверждается теоремой Больцано-Коши, которая приведена во многих пособиях для подготовки к вступительным испытаниям.
Обосновать постоянство знака на промежутках также можно на основе свойств числовых неравенств. Например, возьмем неравенство x - 5 x + 1 > 0 . Если мы найдем нули числителя и знаменателя и нанесем их на числовую прямую, то получим ряд промежутков: (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) и (5 , + ∞) .
Возьмем любой из промежутков и покажем на нем, что на всем промежутке выражение из левой части неравенства будет иметь постоянный знак. Пусть это будет промежуток (− ∞ , − 1) . Возьмем любое число t из этого промежутка. Оно будет удовлетворять условиям t < − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .
Используя оба полученных неравенства и свойство числовых неравенств, мы можем предположить, что t + 1 < 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t на промежутке (− ∞ , − 1) .
Используя правило деления отрицательных чисел, мы можем утверждать, что значение выражения t - 5 t + 1 будет положительным. Это значит, что значение выражения x - 5 x + 1 будет положительным при любом значении x из промежутка (− ∞ , − 1) . Все это позволяет нам утверждать, что на промежутке, взятом для примера, выражение имеет постоянный знак. В нашем случае это знак « + ».
Алгоритм нахождения нулей прост: приравниваем выражения из числителя и знаменателя к нулю и решаем полученные уравнения. При возникновении затруднений можно обратиться к теме «Решение уравнений методом разложения на множители». В этом разделе мы ограничимся лишь рассмотрением примера.
Рассмотрим дробь x · (x - 0 , 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 . Для того, чтобы найти нули числителя и знаменателя, приравняем их к нулю для того, чтобы получить и решить уравнения: x · (x − 0 , 6) = 0 и x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 = 0 .
В первом случае мы можем перейти к совокупности двух уравнений x = 0 и x − 0 , 6 = 0 , что дает нам два корня 0 и 0 , 6 . Это нули числителя.
Второе уравнение равносильно совокупности трех уравнений x 7 = 0 , (x 2 + 2 · x + 7) 2 = 0 , (x + 5) 3 = 0 . Проводим ряд преобразований и получаем x = 0 , x 2 + 2 · x + 7 = 0 , x + 5 = 0 . Корень первого уравнения 0 , у второго уравнения корней нет, так как оно имеет отрицательный дискриминант, корень третьего уравнения - 5 . Это нули знаменателя.
0 в данном случае является одновременно и нулем числителя, и нулем знаменателя.
В общем случае, когда в левой части неравенства дробь, которая не обязательно является рациональной, числитель и знаменатель точно также приравниваются к нулю для получения уравнений. Решение уравнений позволяет найти нули числителя и знаменателя.
Определить знак интервала просто. Для этого можно найти значение выражения из левой части неравенства для любой произвольно выбранной точки из данного интервала. Полученный знак значения выражения в произвольно выбранной точке промежутка будет совпадать со знаком всего промежутка.
Рассмотрим это утверждение на примере.
Возьмем неравенство x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0 . Нулей числителя выражение, расположенное в левой части неравенства, нулей не имеет. Нулем знаменателя будет число - 3 . Получаем два промежутка на числовой прямой (− ∞ , − 3) и (− 3 , + ∞) .
Для того, чтобы определить знаки промежутков, вычислим значение выражения x 2 - x + 4 x + 3 для точек, взятых произвольно на каждом из промежутков.
Из первого промежутка (− ∞ , − 3) возьмем − 4 . При x = − 4 имеем (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24 . Мы получили отрицательное значение, значит весь интервал будет со знаком « - ».
Для промежутка (− 3 , + ∞) проведем вычисления с точкой, имеющей нулевую координату. При x = 0 имеем 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3 . Получили положительное значение, что значит, что весь промежуток будет иметь знак « + ».
Можно использовать еще один способ определения знаков. Для этого мы можем найти знак на одном из интервалов и сохранить его или изменить при переходе через нуль. Для того, чтобы все сделать правильно, необходимо следовать правилу: при переходе через нуль знаменателя, но не числителя, или числителя, но не знаменателя мы можем поменять знак на противоположный, если степень выражения, дающего этот нуль, нечетная, и не можем поменять знак, если степень четная. Если мы получили точку, которая является одновременно нулем числителя и знаменателя, то поменять знак на противоположный можно только в том случае, если сумма степеней выражений, дающих этот нуль, нечетная.
Если вспомнить неравенство, которое мы рассмотрели в начале первого пункта этого материала, то на крайнем правом промежутке мы можем поставить знак « + ».
Теперь обратимся к примерам.
Возьмем неравенство (x - 2) · (x - 3) 3 · (x - 4) 2 (x - 1) 4 · (x - 3) 5 · (x - 4) ≥ 0 и решим его методом интервалов. Для этого нам необходимо найти нули числителя и знаменателя и отметить их на координатной прямой. Нулями числителя будут точки 2 , 3 , 4 , знаменателя точки 1 , 3 , 4 . Отметим их на оси координат черточками.
Нули знаменателя отметим пустыми точками.
Так как мы имеем дело с нестрогим неравенством, то оставшиеся черточки заменяем обычными точками.
Теперь расставим точки на промежутках. Крайний правый промежуток (4 , + ∞) будет знак + .
Продвигаясь справа налево будем проставлять знаки остальных промежутков. Переходим через точку с координатой 4 . Это одновременно нуль числителя и знаменателя. В сумме, эти нули дают выражения (x − 4) 2 и x − 4 . Сложим их степени 2 + 1 = 3 и получим нечетное число. Это значит, что знак при переходе в данном случае меняется на противоположный. На интервале (3 , 4) будет знак минус.
Переходим к интервалу (2 , 3) через точку с координатой 3 . Это тоже нуль и числителя, и знаменателя. Мы его получили благодаря двум выражениям (x − 3) 3 и (x − 3) 5 , сумма степеней которых равна 3 + 5 = 8 . Получение четного числа позволяет нам оставить знак интервала неизменным.
Точка с координатой 2 – это нуль числителя. Степень выражения х - 2 равна 1 (нечетная). Это значит, что при переходе через эту точку знак необходимо изменить на противоположный.
У нас остался последний интервал (− ∞ , 1) . Точка с координатой 1 – это нуль знаменателя. Он был получен из выражения (x − 1) 4 , с четной степенью 4 . Следовательно, знак остается прежним. Итоговый рисунок будет иметь вот такой вид:
Применение метода интервалов особенно эффективно в случаях, когда вычисление значения выражения связано с большим объемом работы. Примером может стать необходимость вычисления значения выражения
x + 3 - 3 4 3 · x 2 + 6 · x + 11 2 · x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 · x - 2 3 5 · (x - 12)
в любой точке интервала 3 - 3 4 , 3 - 2 4 .
Теперь займемся применением полученных знаний и навыков на практике.
Пример 1
Решите неравенство (x - 1) · (x + 5) 2 (x - 7) · (x - 1) 3 ≤ 0 .
Решение
Целесообразно применить для решения неравенства метод интервалов. Находим нули числителя и знаменателя. Нули числителя 1 и - 5 , нули знаменателя 7 и 1 . Отметим их на числовой прямой. Мы имеем дело с нестрогим неравенством, поэтому нули знаменателя отметим пустыми точками, нуль числителя - 5 отметим обычной закрашенной точкой.
Проставим знаки промежутков, используя правила изменения знака при переходе через нуль. Начнем с крайнего правого промежутка, для которого вычислим значение выражения из левой части неравенства в точке, произвольно взятой из промежутка. Получим знак « + ». Перейдем последовательно через все точки на координатной прямой, расставляя знаки, и получим:
Мы работаем с нестрогим неравенством, имеющим знак ≤ . Это значит, что нам необходимо отметить штриховкой промежутки, отмеченные знаком « - ».
Ответ: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .
Решение рациональных неравенств в большинстве случаев требует их предварительного преобразования к нужному виду. Только после этого появляется возможность использовать метод интервалов. Алгоритмы проведения таких преобразований рассмотрены в материале «Решение рациональных неравенств».
Рассмотрим пример преобразования квадратных трехчленов в записи неравенств.
Пример 2
Найдите решение неравенства (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 · x - 8 > 0 .
Решение
Давайте посмотрим, действительно ли дискриминанты квадратных трехчленов в записи неравенства отрицательны. Это позволит нам определить, позволяет ли вид данного неравенства применить для решения метод интервалов.
Вычислим дискриминант для трехчлена x 2 + 3 · x + 3: D = 3 2 − 4 · 1 · 3 = − 3 < 0 . Теперь вычислим дискриминант для трехчлена x 2 + 2 · x − 8: D ’ = 1 2 − 1 · (− 8) = 9 > 0 . Как видите, неравенство требует предварительного преобразования. Для этого представим трехчлен x 2 + 2 · x − 8 как (x + 4) · (x − 2) , а потом применим метод интервалов для решения неравенства (x 2 + 3 · x + 3) · (x + 3) (x + 4) · (x - 2) > 0 .
Ответ: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .
Обобщенный метод промежутков применяется для решения неравенств вида f (x) < 0 (≤ , > , ≥) , где f (x) – произвольное выражение с одной переменной x .
Все действия проводятся по определенному алгоритму. При этом алгоритм решения неравенств обобщенным методом интервалов будет несколько отличаться от того, что мы разобрали ранее:
На числовой прямой необходимо отмечать в том числе и отдельные точки области определения. К примеру, областью определения функции служит множество (− 5 , 1 ] ∪ { 3 } ∪ [ 4 , 7) ∪ { 10 } . Это значит, что нам необходимо отметить точки с координатами − 5 , 1 , 3 , 4 , 7 и 10 . Точки − 5 и 7 изобразим пустыми, остальные можно выделить цветным карандашом для того, чтобы отличать их затем от нулей функции.
Нули функции в случае нестрогих неравенств наносятся обычными (закрашенными) точками, строгих – пустыми точками. Если нули совпадают с граничными точками или отдельными точками области определения, то их можно перекрасить в черный цвет, сделав пустыми или закрашенными в зависимости от вида неравенства.
Запись ответа представляет собой числовое множество, которое включает в себя:
Теперь стало понятно, что тот алгоритм, который мы привели в самом начале темы, является частным случаем алгоритма применения обобщенного метода интервалов.
Рассмотрим пример применения обобщенного метода интервалов.
Пример 3
Решите неравенство x 2 + 2 · x - 24 - 3 4 · x - 3 x - 7 < 0 .
Решение
Вводим функцию f такую, что f (x) = x 2 + 2 · x - 24 - 3 4 · x - 3 x - 7 . Найдем область определения функции f :
x 2 + 2 · x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞) .
Теперь найдем нули функции. Для этого проведем решение иррационального уравнения:
x 2 + 2 · x - 24 - 3 4 · x - 3 = 0
Получаем корень x = 12 .
Для обозначения граничных точек на оси координат используем оранжевый цвет. Точки - 6 , 4 у нас будут закрашенными, а 7 оставляем пустой. Получаем:
Отметим ноль функции пустой точкой черного цвета, так как мы работаем со строгим неравенством.
Определяем знаки на отдельных промежутках. Для этого возьмем по одной точке из каждого промежутка, например, 16 , 8 , 6 и − 8 , и вычислим в них значение функции f :
f (16) = 16 2 + 2 · 16 - 24 - 3 4 · 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 · 8 - 24 - 3 4 · 8 - 3 8 - 7 = 56 - 9 < 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 > 0 f (- 8) = - 8 2 + 2 · (- 8) - 24 - 3 4 · (- 8) - 3 - 8 - 7 = 24 + 3 - 15 < 0
Расставляем только что определенные знаки, и наносим штриховку над промежутками со знаком минус:
Ответом будет являться объединение двух промежутков со знаком « - »: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .
В ответ мы включили точку с координатой - 6 . Это не нуль функции, который мы бы не включили в ответ при решении строгого неравенства, а граничная точка области определения, которая входит в область определения. Значение функции в этой точке отрицательное, это значит, что она удовлетворяет неравенству.
Точку 4 мы в ответ не включили, точно также, как не включили весь промежуток [ 4 , 7) . В этой точке, точно также, как и на всем указанном промежутке значение функции положительно, что не удовлетворяет решаемому неравенству.
Запишем это еще раз для более четкого понимания: цветные точки необходимо включать в ответ в следующих случаях:
Ответ: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Метод интервалов – простой способ решения дробно-рациональных неравенств. Так называются неравенства, содержащие рациональные (или дробно-рациональные) выражения, зависящие от переменной.
1. Рассмотрим, например, такое неравенство
Метод интервалов позволяет решить его за пару минут.
В левой части этого неравенства – дробно-рациональная функция. Рациональная, потому что не содержит ни корней, ни синусов, ни логарифмов – только рациональные выражения. В правой – нуль.
Метод интервалов основан на следующем свойстве дробно-рациональной функции.
Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует.
Напомним, как раскладывается на множители квадратный трехчлен, то есть выражение вида .
Где и - корни квадратного уравнения .
Рисуем ось и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Нули знаменателя и - выколотые точки, так как в этих точках функция в левой части неравенства не определена (на нуль делить нельзя). Нули числителя и - закрашены, так как неравенство нестрогое. При и наше неравенство выполняется, так как обе его части равны нулю.
Эти точки разбивают ось на промежутков.
Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Мы помним, что дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным - либо "плюс", либо "минус".
И поэтому для определения знака функции на каждом таком промежутке мы берем любую точку, принадлежащую этому промежутку. Ту, которая нам удобна.
. Возьмем, например, и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая из "скобок" отрицательная. Левая часть имеет знак .
Следующий промежуток: . Проверим знак при . Получаем, что левая часть поменяла знак на .
Возьмем . При выражение положительно - следовательно, оно положительно на всем промежутке от до .
При левая часть неравенства отрицательна.
И, наконец, class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .
Мы нашли, на каких промежутках выражение положительно. Осталось записать ответ:
Ответ: .
Обратите внимание: знаки на промежутках чередуются. Это произошло потому, что при переходе через каждую точку ровно один из линейных множителей поменял знак, а остальные сохранили его неизменным .
Мы видим, что метод интервалов очень прост. Чтобы решить дробно-рациональное неравенство методом интервалов, приводим его к виду:
Или class="tex" alt="\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle P\left(x \right)}{\displaystyle Q\left(x \right)} > 0"> , или , или .
(в левой части - дробно-рациональная функция, в правой - нуль).
Затем - отмечаем на числовой прямой точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в нуль.
Эти точки разбивают всю числовую прямую на промежутки, на каждом из которых дробно-рациональная функция сохраняет свой знак.
Остается только выяснить ее знак на каждом промежутке.
Мы делаем это, проверяя знак выражения в любой точке, принадлежащей данному промежутку. После этого - записываем ответ. Вот и всё.
Но возникает вопрос: всегда ли знаки чередуются? Нет, не всегда! Надо быть внимательным и не расставлять знаки механически и бездумно.
2. Рассмотрим еще одно неравенство.
Class="tex" alt="\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \left(x-2 \right)^2}{\displaystyle \left(x-1 \right)\left(x-3 \right)}>0">
Снова расставляем точки на оси . Точки и - выколотые, поскольку это нули знаменателя. Точка - тоже выколота, поскольку неравенство строгое.
При числитель положителен, оба множителя в знаменателе отрицательны. Это легко проверить, взяв любое число с данного промежутка, например, . Левая часть имеет знак :
При числитель положителен; первый множитель в знаменателе положителен, второй множитель отрицателен. Левая часть имеет знак :
При ситуация та же! Числитель положителен, первый множитель в знаменателе положителен, второй отрицателен. Левая часть имеет знак :
Наконец, при class="tex" alt="x>3">
все множители положительны, и левая часть имеет знак :
Ответ: .
Почему нарушилось чередование знаков? Потому что при переходе через точку "ответственный" за неё множитель не изменил знак . Следовательно, не изменила знак и вся левая часть нашего неравенства.
Вывод: если линейный множитель стоит в чётной степени (например, в квадрате), то при переходе через точку знак выражения в левой части не меняется . В случае нечётной степени знак, разумеется, меняется.
3. Рассмотрим более сложный случай. От предыдущего отличается тем, что неравенство нестрогое:
Левая часть та же, что и в предыдущей задаче. Та же будет и картина знаков:
Может, и ответ будет тем же? Нет! Добавляется решение Это происходит потому, что при и левая, и правая части неравенства равны нулю - следовательно, эта точка является решением.
Ответ: .
В задаче на ЕГЭ по математике такая ситуация встречается часто. Здесь абитуриенты попадают в ловушку и теряют баллы. Будьте внимательны!
4. Что делать, если числитель или знаменатель не удается разложить на линейные множители? Рассмотрим такое неравенство:
Квадратный трехчлен на множители разложить нельзя: дискриминант отрицателен, корней нет. Но ведь это и хорошо! Это значит, что знак выражения при всех одинаков, а конкретно - положителен. Подробнее об этом можно прочитать в статье о свойствах квадратичной функции .
И теперь мы можем поделить обе части нашего неравенства на величину , положительную при всех . Придём к равносильному неравенству:
Которое легко решается методом интервалов.
Обратите внимание - мы поделили обе части неравенства на величину, о которой точно знали, что она положительна. Конечно, в общем случае не стоит умножать или делить неравенство на переменную величину, знак которой неизвестен.
5 . Рассмотрим еще одно неравенство, на вид совсем простое:
Так и хочется умножить его на . Но мы уже умные, и не будем этого делать. Ведь может быть как положительным, так и отрицательным. А мы знаем, что если обе части неравенства умножить на отрицательную величину - знак неравенства меняется.
Мы поступим по другому - соберём всё в одной части и приведём к общему знаменателю. В правой части останется нуль:
Class="tex" alt="\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle x-2}{\displaystyle x}>0">
И после этого - применим метод интервалов .
Пример
. (задание из ОГЭ)
Решите неравенство методом интервалов \((x-7)^2< \sqrt{11}(x-7)\)
Решение:
Ответ : \((7;7+\sqrt{11})\)
Пример
. Решите неравенство методом интервалов \(≥0\)
Решение:
\(\frac{(4-x)^3 (x+6)(6-x)^4}{(x+7,5)}\) \(≥0\) |
Здесь на первый взгляд все кажется нормальным, а неравенство изначально приведенным к нужному виду. Но это не так – ведь в первой и третьей скобке числителя икс стоит со знаком минус. Преобразовываем скобки, с учетом того, что четвертая степень - четная (т.е. уберет знак минус), а третья – нечетная (т.е. не уберет). |
|
\(\frac{-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4}{(x+7,5)}\) \(≥0\) |
Теперь все скобки выглядят как надо (первым идет иск без знака и только потом число). Но перед числителем появился минус. Убираем его, умножая неравенство на \(-1\), не забыв при этом перевернуть знак сравнения |
|
\(\frac{(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4}{(x+7,5)}\) \(≤0\) |
Готово. Вот теперь неравенство выглядит как надо. Можно применять метод интервалов. |
|
\(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7,5\) |
Расставим точки на оси, знаки и закрасим нужные промежутки. |
|
В промежутке от \(4\) до \(6\), знак не надо менять, потому что скобка \((x-6)\) в четной степени (см. пункт 4 алгоритма). Флажок будет напоминанием о том, что шестерка - тоже решение неравенства. |
Ответ : \((-∞;7,5]∪[-6;4]∪\left\{6\right\}\)
Пример.
(Задание из ОГЭ)
Решите неравенство методом интервалов \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
Решение:
\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\) |
Слева и справа есть одинаковые – это явно не случайно. Первое желание – поделить на \(-x^2-64\), но это ошибка, т.к. есть шанс потерять корень. Вместо этого перенесем \(64(-x^2-64)\) в левую сторону |
|
\(x^2 (-x^2-64)-64(-x^2-64)≤0\) |
||
\((-x^2-64)(x^2-64)≤0\) |
Вынесем минус в первой скобки и разложим на множители вторую |
|
\(-(x^2+64)(x-8)(x+8)≤0\) |
Обратите внимание: \(x^2\) либо равно нулю, либо больше нуля. Значит, \(x^2+64\) – однозначно положительно при любом значении икса, то есть это выражение никак не влияет на знак левой части. Поэтому можно смело делить обе части неравенства на это выражение. |
|
\((x-8)(x+8)≥0\) |
Теперь можно применять метод интервалов |
|
\(x=8;\) \(x=-8\) |
Запишем ответ |
Ответ
: \((-∞;-8]∪}